一対一対応の数学Ⅲ(曲線・複素数平面編)【2次曲線】

2次曲線

1. 放物線

放物線とは、焦点Fと準線ℓとの距離が等しい軌跡のことであり、 \displaystyle
F(p, 0)、ℓ:x=-pのときy^{2}=4px

2. 楕円・双曲線の焦点

双曲線とは、2つの焦点F,F’と点Pとの距離差|PF-PF’|が一定値2aをとる軌跡のことであり
\displaystyle
\frac{x^{2}}{a^{2}} -\frac{y^{2}}{b^{2}} =1 (a>0,b>0)
\verb|のとき| \displaystyle
F,F’( ±\sqrt{a^{2}+b^{2}}, 0 )、
漸近線:y=±\frac{a}{b} xである

一方、楕円の焦点は \displaystyle
F,F'(±\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0 )

3. 楕円・双曲線の接線/一定値問題

接点\displaystyle
(x_0,y_0)
における楕円の接線は
\displaystyle
\frac {x_0}{a^{2}} x+\frac {y_0}{b^{2}} y=1
双曲線の接線は
\displaystyle
\frac{x_0}{a^{2}} -\frac{y_0}{b^{2}} =1 (or-1)

点(m,n)と直線ax+by+c=0の距離dは
\displaystyle
d=\frac{|am+bn+c|}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}

4. 楕円/媒介変数表示
5. 楕円を円に変換
6. 直交する座標
7. 離心率
8. 焦点と2次曲線上の点の距離

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